W 1926 roku E. Schrödinger sformułował mechanikę falową (jedno ze sformułowań fizyki kwantowej) zajmującą się opisem falowych własności materii. Według tej teorii, elektron w stanie stacjonarnym w atomie może być opisany za pomocą stojących fal materii, przy czym podstawę stanowi związek de Broglie'a \( p = h/\lambda \) wiążący własności cząsteczkowe z falowymi.

Teoria ta określa prawa ruchu falowego cząstek w dowolnym układzie mikroskopowym. Formułuje równanie opisujące zachowanie się funkcji falowej (funkcja opisująca fale materii) dla takiego układu i określa związek pomiędzy zachowaniem się cząstek, a zachowaniem funkcji falowej opisującej cząstki. Teoria Schrödingera stanowi uogólnienie hipotezy de Broglie'a.

Do pełnego opisu własności falowych cząstek nie wystarczy przypisac im własności falowych podając długość fali be Broglie'a, należy posłużyć się funkcją reprezentującą falę de Broglie'a, tak zwaną funkcją falową \( \psi \).

Przypomnijmy, że dla fal w strunie zaburzenie opisywaliśmy za pomocą równania fali opisującego poprzeczne wychylenie y struny (zob. moduł Rozchodzenie się fal w przestrzeni ), a dla fal elektromagnetycznych poprzez równanie opisujące wektor natężenia pola elektrycznego \( E \) (zob. moduł Natężenie światła w doświadczeniu Younga ). Analogiczną miarą dla fal materii jest właśnie funkcja falowa \( \psi \).

Najogólniej, jest to funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu \( \psi(x,y,z,t) \). Na przykład dla swobodnej cząstki poruszającej się w kierunku osi \( x \) można ją zapisać w postaci prostej funkcji sinusoidalnej o amplitudzie \( A \)

Zauważmy, że wyrażenie to jest identyczne jak wzór Rozchodzenie się fal w przestrzeni-( 4 ) opisujący rozchodzenie się (w kierunku \( x \)) fali harmonicznej wzdłuż długiego naprężonego sznura.

O ile jednak znamy fizyczne znaczenie funkcji opisującej zaburzenie falowe dla struny czy fali elektromagnetycznej to pozostaje odpowiedzieć na pytanie jaki jest związek pomiędzy funkcją falową, a opisywanym przez nią elektronem (cząstką), pozostaje wyjaśnić z czym wiąże się funkcja \( \psi \).

Jako pierwszy fizyczną interpretację funkcji falowej zaproponował M. Born.

Ponieważ funkcja falowa może przyjmować wartości zespolone to uwzględniamy kwadrat modułu funkcji falowej.

Ta interpretacja funkcji \( \psi \) daje statystyczny związek pomiędzy falą i związaną z nią cząstką. Nie mówimy gdzie cząstka jest ale gdzie prawdopodobnie się znajdzie.

Jeżeli w jakiejś chwili \( t \), dokonamy pomiaru mającego na celu ustalenie położenia cząstki opisywanej funkcją falowa \( \psi(x,t) \) to prawdopodobieństwo, że znajdziemy cząstkę w przedziale \( x-dx \) wynosi \( {|\psi(x,t)|^{{2}}\mathit{dx}} \). Wielkość \( {|\psi |^{{2}}} \) jest więc miarą gęstością prawdopodobieństwa.

Ponieważ ruch cząstki jest opisywany stowarzyszoną z nią falą materii, to oczekujemy, że w miejscu przebywania cząstki fala materii ma dużą amplitudę. Natomiast gdy amplituda fali materii jest równa zeru w pewnych punktach przestrzeni to prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w tym miejscu jest zaniedbywalnie małe.